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$f$ の upper adjoint map $f^*$ と lower adjoint map $f_*$（(XXIV.2.1)・(XXIV.2.2)）

  • $f$ の upper adjoint map $f^$ と lower adjoint map $f_$（(XXIV.2.1)・(XXIV.2.2)） #Card
    • 写像 $f:X\to Y$ から、関数空間の間の「合成による押し出し／引き戻し」写像をどう2通り構成するか。

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Section titled “Back”

$f:X\to Y$、$Z$ を任意の集合とする。

Upper adjoint map $f^:Z^Y\to Z^X$：$f^(h):=h\circ f$（$h\in Z^Y$）。すなわち $f^(h)(x)=h(f(x))$。評価写像で書くと $\langle x,f^(h)\rangle=\langle f(x),h\rangle$。図式 $X\xrightarrow{f}Y\xrightarrow{h}Z$、$f^*(h)=h\circ f$ が可換。

Lower adjoint map $f_:X^W\to Y^W$（$W$ を任意の集合として）：$f_(g):=f\circ g$（$g\in X^W$）。すなわち $f_(g)(w)=f(g(w))$。評価写像で書くと $\langle w,f_(g)\rangle=\langle g(w),f\rangle$。図式 $W\xrightarrow{g}X\xrightarrow{f}Y$、$f_*(g)=f\circ g$ が可換。

反復 $f^{}:=(f^)^$ も定義でき、$f^{}(s)(h)(x)=s(h(f(x)))$（point-evaluation cards/topology/point-evaluation-map との関係で使う）。lower adjoint の反復は本章では使わない。

連続写像への制限: $f\in C(\xi,\tau)$、$h\in C(\tau,\sigma)$ なら $f^(h)=h\circ f\in C(\xi,\sigma)$（合成の連続性、Proposition IV.2.2）。同様に $f\in C(\xi,\tau)$、$g\in C(\theta,\xi)$ なら $f_(g)=f\circ g\in C(\theta,\tau)$。

これらの制限が dual convergence とどう相互作用するかが cards/topology/prop-xxiv-2-4-upper-adjoint-continuity・cards/topology/prop-xxiv-2-6-lower-adjoint-continuity の内容。