📐 Proposition XXIV.2.4（$f$ が連続なら upper adjoint $f^*$ も dual convergence で連続）
- 📐 Proposition XXIV.2.4（$f$ が連続なら upper adjoint $f^*$ も dual convergence で連続） #Card
- $f\in C(\xi,\tau)$ から $f^*:C(\tau,\sigma)\to C(\xi,\sigma)$（$h\mapsto h\circ f$）の連続性をどう引き出すか。
Proposition XXIV.2.4: $f\in C(\xi,\tau)$ なら、$f^*\in C([\tau,\sigma],[\xi,\sigma])$。
証明: $h\in\lim_{[\tau,\sigma]}\mathcal{H}$ とする。$f^(h)\in\lim_{[\xi,\sigma]}f^[\mathcal{H}]$ を示すため、$x\in\lim_\xi F$ を取る。$f$ の連続性より $f(x)\in\lim_\tau f[F]$、よって $[\tau,\sigma]$ の定義から $\langle f(x),h\rangle\in\lim_\sigma\langle f[F],\mathcal{H}\rangle$。すなわち $\langle x,f^(h)\rangle\in\lim_\sigma\langle F,f^[\mathcal{H}]\rangle$——これが $f^(h)\in\lim_{[\xi,\sigma]}f^[\mathcal{H}]$ の定義そのもの。
図式（可換）: $$\xi\xrightarrow{f}\tau,\qquad f^*(h)\xleftarrow{\ }\ h,\qquad \text{ともに }\sigma\text{ 上へ}.$$
$f$ の連続性が、写像の合成による引き戻し $f^*$ の dual convergence 間の連続性に共変的に（反変ではなく）伝播する——cards/topology/adjoint-maps-upper-lower の upper adjoint が「反変関手」でありながら、$[\cdot,\sigma]$ を通すと変性が打ち消される（$[\tau,\sigma]\to[\xi,\sigma]$ の向きは $f:\xi\to\tau$ と同じ向き）ことに注意。cards/topology/prop-xxiv-2-5-dual-convergence-pullback-surjective の証明の土台。