📐 Proposition XXIV.2.5（全射 $f$ に対する $[f\xi,\sigma]$ の $f^*$ による引き戻し表示）
- 📐 Proposition XXIV.2.5（全射 $f$ に対する $[f\xi,\sigma]$ の $f^*$ による引き戻し表示） #Card
- 終収束 $f\xi$ の dual convergence $[f\xi,\sigma]$ を、$[\xi,\sigma]$ と $f^*$ からどう再構成するか。
Proposition XXIV.2.5: 任意の $\xi,\sigma$ と全射 $f:\vert\xi\vert\to Y$ に対し $$[f\xi,\sigma] = (f^*)^-[\xi,\sigma].$$
証明: cards/topology/prop-xxiv-2-4-upper-adjoint-continuity を $f\in C(\xi,f\xi)$ に適用すると $[f\xi,\sigma]\geq(f^)^-[\xi,\sigma]$。逆向きは、$h\in\lim_{(f^)^-[\xi,\sigma]}\mathcal{H}$、すなわち $f^(h)\in\lim_{[\xi,\sigma]}f^[\mathcal{H}]$ から出発し、$\langle f(x),h\rangle\in\lim_\sigma\langle f[F],\mathcal{H}\rangle$（$x\in\lim_\xi F$ のとき）を導き、$f$ が全射なので任意の $y\in\lim_{f\xi}G$ に対し $y=f(x)$、$x\in\lim_\xi F$、$G=f[F]$ となる $x,F$ が取れることを使って $h\in\lim_{[f\xi,\sigma]}\mathcal{H}$ を結論。
意味: 終収束（final convergence、商収束）の dual convergence が、もとの収束の dual convergence の引き戻しとして書ける——終収束をとる操作と dual convergence をとる操作の可換性の一種。cards/topology/prop-xxiv-2-7-dual-convergence-pullback-lower（lower adjoint 版、始収束の場合）と対をなす。