Point-evaluation $j_X$（Definition XXIV.2.1）とその単射性（Proposition XXIV.2.2）
- Point-evaluation $j_X$（Definition XXIV.2.1）とその単射性（Proposition XXIV.2.2） #Card
- 「点 $x$ を、$x$ での評価という汎関数」に送る標準写像 $j_X$ の定義と、単射になる条件は。
$Z$ を固定した集合とする。Point-evaluation $j_X:X\to Z^{Z^X}$ を $$j_X(x)(s) := s(x) \quad (s\in Z^X)$$ で定義（Definition XXIV.2.1）——各点 $x$ を「$Z^X$ 上の評価汎関数 $s\mapsto s(x)$」に送る。
Proposition XXIV.2.2: $\mathrm{card},X>1$ のとき、$Z$ に関する point-evaluation が単射 $\iff$ $\mathrm{card},Z>1$。
証明: $Z$ に相異なる2元 $z_0,z_1$ があれば、相異なる $x_0,x_1\in X$ に対し $s(x_0)=z_0,s(x_1)=z_1$ となる $s\in Z^X$ が存在し、$j(x_0)\neq j(x_1)$。逆に $Z={z}$ なら任意の $s\in{z}^X$ で $s(x_0)=s(x_1)=z$ となり $j$ は定数写像。
$j_X$ と upper adjoint の反復 $f^{}$（cards/topology/adjoint-maps-upper-lower）は関係が深い——cards/topology/prop-xxiv-2-3-double-adjoint-point-evaluation で $f^{}\circ j_X=j_Y\circ f$（$f^{**}$ は $X$ 上で $f$ と一致する）ことが示される。この point-evaluation の枠組みは、後の双対性の章（第XXV・XXVI章）で「点＝評価汎関数」という identification の一般化として再登場する。