📐 Proposition XXIV.2.3（二重随伴 $f^{**}$ は point-evaluation を経由して $f$ と一致）
- 📐 Proposition XXIV.2.3（二重随伴 $f^{**}$ は point-evaluation を経由して $f$ と一致） #Card
- $f:X\to Y$ の二重 upper adjoint $f^{**}$ と、point-evaluation $j_X,j_Y$ の関係は。
$j_X:X\to Z^{Z^X}$、$j_Y:Y\to Z^{Z^Y}$ を cards/topology/point-evaluation-map、$f^{**}=(f^)^$ を cards/topology/adjoint-maps-upper-lower の二重 upper adjoint とする。
Proposition XXIV.2.3: $$f^{**}\circ j_X = j_Y\circ f.$$
証明: $f^{}(j_X(x))=j_X(x)\circ f^*:Z^Y\to Z$。$h\in Z^Y$ に対し $$f^{}(j_X(x))(h) = j_X(x)(f^*(h)) = j_X(x)(h\circ f) = h(f(x))= (j_Y\circ f)(x)(h).$$
意味: $X$ を $j_X$ で「評価汎関数の空間」に埋め込んだとき、$f:X\to Y$ の作用は、二重随伴 $f^{**}:Z^{Z^X}\to Z^{Z^Y}$ の制限として忠実に再現される——「点」を「評価汎関数」とみなす同一視が $f$ の作用と両立する、という関手性の主張。単射性（cards/topology/point-evaluation-map の Prop XXIV.2.2）と合わせれば、$\mathrm{card},Z>1$ のとき $X$ は $Z^{Z^X}$ の部分集合として $f$ ごと保存される。