📐 Proposition XXIV.2.6（$f$ が連続なら lower adjoint $f_*$ も dual convergence で連続）
- 📐 Proposition XXIV.2.6（$f$ が連続なら lower adjoint $f_*$ も dual convergence で連続） #Card
- $f\in C(\xi,\tau)$ から $f_*:C(\theta,\xi)\to C(\theta,\tau)$（$g\mapsto f\circ g$）の連続性をどう引き出すか。
Proposition XXIV.2.6: $f\in C(\xi,\tau)$ なら、$f_*\in C([\theta,\xi],[\theta,\tau])$。
証明: $g\in\lim_{[\theta,\xi]}G$ とする。$w\in\lim_\theta W$ のとき $g(w)=\langle w,g\rangle\in\lim_\xi\langle W,G\rangle=\lim_\xi G[W]$。$f$ の連続性から $f(g(w))\in\lim_\tau f[G[W]]$。言い換えると $$\langle w,f_(g)\rangle = \langle g(w),f\rangle \in \lim_\tau f[\langle W,G\rangle] = \lim_\tau\langle W,f_[G]\rangle,$$ すなわち $f_(g)\in\lim_{[\theta,\tau]}f_[G]$。
図式（可換）: $g:W\to X$、$f_*(g)=f\circ g:W\to Y$、$f:X\to Y$。
cards/topology/prop-xxiv-2-4-upper-adjoint-continuity の「反変版」の相方——こちらは共変（$f:\xi\to\tau$ と $f_*:[\theta,\xi]\to[\theta,\tau]$ が同じ向き、かつ添字が右側の $\sigma$ でなく固定の $\theta$ 側にある点が非対称）。cards/topology/prop-xxiv-2-7-dual-convergence-pullback-lower の土台。