Preimagewise convergence $\tau^{\Uparrow\sigma}$（(XXIV.6.1)）：本節までの全ての構成を統一する枠組み
- Preimagewise convergence $\tau^{\Uparrow\sigma}$（(XXIV.6.1)）：本節までの全ての構成を統一する枠組み #Card
$\xi$ を集合 $X$ 上の収束、$\tau$ を $\xi$-開集合の超空間 $\mathcal{O}\xi\approx C(\xi,$1)$ 上の収束、$\sigma$ を集合 $Z$ 上の位相とする。preimagewise convergence $\tau^{\Uparrow\sigma}$ を $C(\xi,\sigma)$ 上に $$f_0\in\lim{}{\tau^{\Uparrow\sigma}}\mathcal{F} :\iff \forall{O\in\mathcal{O}\sigma}\ f_0^-(O)\in\lim\tau\mathcal{F}^-(O) \tag{XXIV.6.1}$$ で定義する。特に $\tau^{\Uparrow$_1}=\tau$（$$_1$ の唯一の非自明開集合 ${1}$ に対応する前像がもとの集合そのもの、$\chi_A(x)=1\iff x\in A$ から）。
特殊ケース: $\tau=\alpha(\xi,$_1)$（cards/topology/alpha-xi-sigma-general-construction）なら $\alpha(\xi,\sigma)=\alpha(\xi,$_1)^{\Uparrow\sigma}$；$\tau=[\xi,$_1]$（cards/topology/dollar-dual-kuratowski-scott-convergences）なら $[\xi,\sigma]=[\xi,$_1]^{\Uparrow\sigma}$。
特性関数の言葉で書き直すと、$f\in Z^X$、$O\subset Z$ に対し $\chi_{f^-(O)}=\chi_O\circ f$（(XXIV.6.2)）なので、$f_0\in\lim_{\tau^{\Uparrow\sigma}}\mathcal{F}\iff$ 各 $O\in\mathcal{O}\sigma$ で $\chi_O\circ f_0\in\lim\tau\chi_O\circ\mathcal{F}$（(XXIV.6.3)、cards/topology/adjoint-maps-upper-lower の lower adjoint $(\chi_O)*$ の記法で $(\chi_O)(f_0)\in\lim_\tau(\chi_O)_[\mathcal{F}]$）。
本章のこれまでの構成（pointwise, compact-open, Isbell, natural convergence のすべて）が preimagewise convergence の特殊ケースだった、という統一的視点——cards/topology/prop-xxiv-6-1-initial-density-preimagewise でこの統一の意味（初期収束としての表示）が明らかになる。