Skip to content
Journals Garden

$\$$-dual convergence の2変種：upper Kuratowski $[\xi,\$_0]$・Scott $[\xi,\$_1]$

  • $$$-dual convergence の2変種：upper Kuratowski $[\xi,$_0]$・Scott $[\xi,$_1]$ #Card

Back

Section titled “Back”

Sierpiński 空間 $$$ には2つの同相な変種 $$_0$（下側 ${1}$ が唯一の非自明開集合）と $$_1$（上側 ${1}$ が唯一の非自明開集合）がある。特性関数 $\chi_A$ を通じ $A\subset X$ を写像 $\chi_A\in{0,1}^X$ と同一視すると、$C(\xi,$)$ は超空間（部分集合の集まり）とみなせる。

  • $[\xi,$_0]$：$\xi$-閉集合の集合 $\mathcal{C}_\xi$ 上の超収束として実現される（$\chi_A\in C(\xi,$_0)\iff A$ が $\xi$-閉、${1}$ が唯一の $$_0$-閉集合な proper 集合であることによる）。これはupper Kuratowski convergence（第XX.10節で位相の場合に既出）と一致する。
  • $[\xi,$_1]$：$\xi$-開集合の集合 $\mathcal{O}_\xi$ 上の超収束として実現される。これはScott convergence と呼ばれる。

$\xi$ が pretopology のとき、明示公式: $$A_0\in\lim{}{[\xi,$0]}\mathcal{F} \iff \bigcap{F\in\mathcal{F}}\mathrm{adh}\xi\left(\bigcup_{A\in F}A\right)\subset A_0, \qquad O_0\in\lim{}{[\xi,$1]}\mathcal{D} \iff O_0\subset\bigcup{D\in\mathcal{D}}\mathrm{inh}\xi\left(\bigcap_{O\in D}O\right).$$

超収束を「一般の収束の言葉」で統一的に扱うための、本章と第XX章の橋渡し役。cards/topology/xi-erected-filter-galois-connection・cards/topology/point-topology-inverse-point-topology の議論の出発点。