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$\xi$-erected filter $\widehat{e_\xi}$ と $r$ のガロア接続、$\xi$-saturated hyperfilter

  • $\xi$-erected filter $\widehat{e_\xi}$ と $r$ のガロア接続、$\xi$-saturated hyperfilter #Card
    • 台集合上のフィルターと超空間 $\mathcal{C}\xi$ 上のフィルターを行き来する標準的な構成 $\widehat{e\xi}$・$r$ の関係は。

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Section titled “Back”

フィルター $\mathcal{H}$（台集合 $X$ 上）に対し $e_\xi\mathcal{H}:={C\in\mathcal{C}\xi:C\subset H}$、$\widehat{e\xi}\mathcal{H}:={e_\xi H:H\in\mathcal{H}}^\uparrow$（$\mathcal{C}\xi$ 上のフィルター）。逆に $\mathcal{F}$（$\mathcal{C}\xi$ 上のフィルター）に対し $r(\mathcal{F}):={\bigcup F:F\in\mathcal{F}}$（$X$ 上のフィルター基）。

常に $r(\widehat{e_\xi}\mathcal{H})\geq\mathcal{H}$、$\mathcal{F}\geq\widehat{e_\xi}(r\mathcal{F})$——すなわち $$\mathbb{F}X \underset{r}{\overset{\widehat{e_\xi}}{\rightleftarrows}} \mathbb{F}\mathcal{C}\xi$$ は type $(+,-)$ のガロア接続（第XXI.2節の言葉；$\widehat{e\xi}$・$r$ とも順序保存、$r\widehat{e_\xi}$ は上昇的、$\widehat{e_\xi}r$ は下降的）。したがって $\widehat{e_\xi}(r(\widehat{e_\xi}\mathcal{H}))=\widehat{e_\xi}\mathcal{H}$、$r\mathcal{F}=r(\widehat{e_\xi}(r\mathcal{F}))$。

  • 超フィルター $\mathcal{F}$（$\mathcal{C}\xi$ 上）が $\xi$-saturated:⟺ $\mathcal{F}=\widehat{e\xi}(r\mathcal{F})$。$\xi$-saturated な hyperset の基を持てば十分。cards/topology/dollar-dual-kuratowski-scott-convergences の $[\xi,$_0]$ は $\xi$-saturated hyperfilter の pavement を持つ。
  • フィルター $\mathcal{H}$（$X$ 上）が $\xi$-reduced:⟺ $r(\widehat{e_\xi}\mathcal{H})=\mathcal{H}$。

$\xi$-reduced 性は cards/topology/point-topology-inverse-point-topology の point topology を通じて特徴づけられる（cards/topology/prop-xxiv-4-3-reduced-filter-characterization）——「超空間のフィルター」と「もとの空間のフィルター」の間の情報のロスを測る枠組み。