Point topology $\xi^\bullet$ と inverse point topology $\xi^\circ$（(XXIV.4.4)）
- Point topology $\xi^\bullet$ と inverse point topology $\xi^\circ$（(XXIV.4.4)） #Card
- $\mathrm{cl}_\xi{x}$（1点の閉包）を使って、$\xi$ 自体からどんな2つの新しい位相を作れるか。
$\mathrm{cl}{\xi\bullet}A:=\bigcup{x\in A}\mathrm{cl}\xi{x}$ と定義する。$\mathrm{cl}{\xi\bullet}$ は拡大的（$A\subset\mathrm{cl}{\xi\bullet}A$）・冪等・$\mathrm{cl}{\xi\bullet}\emptyset=\emptyset$・加法的（$\mathrm{cl}{\xi\bullet}(\bigcup_j A_j)=\bigcup_j\mathrm{cl}{\xi\bullet}A_j$、(XXIV.4.4)）を満たす閉包作用素。加法的な閉包作用素は「閉集合の任意和が閉」という位相（point topology $\xi^\bullet$）を定める（通常の位相の公理より強く、任意合併で閉性が保たれる）。常に $\xi^\bullet\geq\xi$。$\xi$ が free（$T_1$）なら $\xi^\bullet=\iota$（離散）。
逆関係 $x\in\mathrm{cl}{\xi^\circ}{y}:\iff y\in\mathrm{cl}{\xi\bullet}{x}$ で定義されるinverse point topology $\xi^\circ$ も同様に「閉集合の任意合併が閉」という位相を与える。$\xi$ が free なら $\xi^\circ=\iota$ だが、$\xi^\circ$ は $\xi$ より細かいとは限らない（cards/topology/example-xxiv-4-2-inverse-point-topology-not-finer）。
これら2つの位相は互いに補完的（cards/topology/prop-xxiv-4-1-point-topologies-complementary: $\mathcal{C}{\xi^\bullet}=\mathcal{O}{\xi^\circ}$）——「1点の閉包」という最小限のデータから、$\xi$ 自体よりも代数的に単純な（Alexandrov 的な）位相のペアを取り出す構成。cards/topology/prop-xxiv-4-3-reduced-filter-characterization（reduced filter の特徴づけ）で本質的に使われる。