📐 Proposition XXIV.4.3（reduced filter ⟺ point topology で regular ⟺ inverse point topology で open based）
- 📐 Proposition XXIV.4.3（reduced filter ⟺ point topology で regular ⟺ inverse point topology で open based） #Card
- cards/topology/xi-erected-filter-galois-connection の $\xi$-reduced filter を、cards/topology/point-topology-inverse-point-topology の言葉でどう特徴づけるか。
Proposition XXIV.4.3: フィルター $\mathcal{H}$（$X$ 上）が reduced（$r(\widehat{e_\xi}\mathcal{H})=\mathcal{H}$） $\iff$ $\xi^\bullet$-regular（$\mathrm{cl}_{\xi^\bullet}H\subset H$ となる $H\in\mathcal{H}$ を各元が持つ、正則性の意味）$\iff$ $\xi^\circ$-openly based（$\xi^\circ$-開集合の基底を持つ）。
証明の骨子: $\mathcal{F}$ を $\mathcal{C}(\xi,$0)$ 上の超フィルターとし、$x\in\bigcup{A\in F}A$（$F\in\mathcal{F}$）とすると、各 $A\in F$ が $\xi$-閉（$\mathcal{C}(\xi,$0)$ の元）なので、ある $A\in F$ で $x\in A$、よって $x\in\mathrm{cl}\xi{x}\subset A\subset\bigcup_{A\in F}A$——これが $r\mathcal{F}$ の $\xi^\bullet$-regular 性を示す。逆に $\mathrm{cl}{\xi^\bullet}H\subset H$ なら ${A\subset H:\mathrm{cl}\xi A\subset A}\subset\bigcup_{x\in H}\mathrm{cl}\xi{x}=\mathrm{cl}{\xi^\bullet}H=H$——$H$ が $\xi^\bullet$-regular なら $r(\widehat{e_\xi}\mathcal{H})=\mathcal{H}$。cards/topology/prop-xxiv-4-1-point-topologies-complementary（$\xi^\circ$-開集合＝$\xi^\bullet$-閉集合）から第三の同値が従う。
「超空間のフィルターと元の空間のフィルターの間で情報が失われないための条件」を、point topology・inverse point topology という補助的な位相で完全に言い換えた結果——超収束の理論（cards/topology/dollar-dual-kuratowski-scott-convergences）を精密化する技術的な礎石。