📐 Proposition XXIV.4.1（$\xi^\bullet$ と $\xi^\circ$ は互いに補完的）
- 📐 Proposition XXIV.4.1（$\xi^\bullet$ と $\xi^\circ$ は互いに補完的） #Card
- cards/topology/point-topology-inverse-point-topology の2つの位相 $\xi^\bullet,\xi^\circ$ はどんな双対関係にあるか。
Proposition XXIV.4.1: 任意の収束 $\xi$ に対し $$\mathcal{C}{\xi^\bullet} = \mathcal{O}{\xi^\circ}$$ （$\xi^\bullet$-閉集合の全体＝$\xi^\circ$-開集合の全体）。
証明: $A$ を $\xi^\circ$-開集合とし、$x\in A$、$y\in\lim_{\xi^\bullet}x^\uparrow$（すなわち $x\in\lim_{\xi^\circ}y^\uparrow$、つまり $y\in\mathrm{cl}{\xi^\circ}{x}$ の定義から $x\in\mathrm{cl}{\xi^\circ}{y}$）とする。逆関係の定義から $A\in y^\uparrow$、すなわち $y\in A$。これは $A$ が $\xi^\bullet$-閉であることを示す。
$\xi^\bullet$ と $\xi^\circ$ が単なる無関係な2つの構成ではなく、互いにGalois双対の関係にあることを保証する結果——一方の閉集合系がもう一方の開集合系そのものになる。第XXV章の双対性（Duality）の理論の最も単純な先取り版とも読める。cards/topology/prop-xxiv-4-3-reduced-filter-characterization の証明で使われる。