$\sigma$-dual（natural／continuous）convergence $[\xi,\sigma]$（Definition XXIV.1.2）
- $\sigma$-dual（natural／continuous）convergence $[\xi,\sigma]$（Definition XXIV.1.2） #Card
- $C(\xi,\sigma)$ 上の「評価写像 $\mathrm{ev}$ が連続になる最粗の収束」をどう定義するか。
$\mathrm{ev}:X\times Z^X\to Z$、$\mathrm{ev}(x,f):=f(x)$ を評価写像とする。$G,\mathcal{F}$ に対し $\langle G,\mathcal{F}\rangle:={F(G):G\in G,F\in\mathcal{F}}$（記法 (XXIV.1.2)）とする。
$\sigma^\xi\subset\mathbb{F}(Z^X)\times Z^X$ を次で定義（(dual)）: $$f\in\lim{}{\sigma^\xi}\mathcal{F} :\iff f(x)=\langle x,f\rangle\in\lim\sigma\langle G,\mathcal{F}\rangle \text{（各 } x\in X \text{ と、} x\in\lim_\xi G \text{ となる任意のフィルター } G \text{ について）}.$$
$\sigma^\xi$ はイソトン（前収束）。$F=f^\uparrow$（主フィルター）の場合、$f\in\lim_{\sigma^\xi}f^\uparrow \iff f\in C(\xi,\sigma)$——すなわち $\sigma^\xi$ を $C(\xi,\sigma)$ に制限すると収束になる: $$[\xi,\sigma] := \sigma^\xi\vert_{C(\xi,\sigma)}.$$
$[\xi,\sigma]$ を $\xi$ の $\sigma$-dual convergence（伝統的には natural convergence または continuous convergence とも呼ぶ）、$\xi$ を $[\xi,\sigma]$ の $\sigma$-primal convergence と呼ぶ（Definition XXIV.1.2）。
特殊ケース $\xi=\iota$（離散位相）では $[\iota,\sigma]=p(\iota,\sigma)$（各点収束と一致）。一般に $C(\xi,\sigma)\subset C(\iota,\sigma)$ なので、$p(\iota,\sigma)$ の $C(\xi,\sigma)$ への制限を $p(\xi,\sigma):=[\iota,\sigma]\vert_{C(\xi,\sigma)}$ と定義する（(XXIV.0.1)）。
本章の最重要概念——cards/topology/prop-xxiv-1-1-dual-convergence-coarsest（最粗性による特徴づけ）・cards/topology/thm-xxiv-3-2-exponential-law（指数法則）の主役。
Meaning
Section titled “Meaning”XXIV.1 の主眼は「pointwise 収束では壊れる連続性」を、評価写像連続性を満たす最粗条件として補修することにある。dual convergence は ad-hoc な新位相ではなく、普遍性で一意に決まるため、後続の指数法則や関数空間 compactness と自然に接続する。
出典:
refs/math/topology/royal-road-to-topology/pdfs/chp24-2024-spaces-of-maps.pdfp.583–584