📐 Theorem XXIV.3.2（指数法則：$[\xi\times\tau,\sigma]\approx[\tau,[\xi,\sigma]]$、$\exp$ は同相）

• 📐 Theorem XXIV.3.2（指数法則：$[\xi\times\tau,\sigma]\approx[\tau,[\xi,\sigma]]$、$\exp$ は同相） #Card
  • 本章で最も重要な結果。指数化写像 $\exp$ が単なる全単射（cards/topology/lemma-xxiv-3-1-exponential-map-bijection）を超えて、同相にまでなるのはなぜか。

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Theorem XXIV.3.2（指数法則）: 任意の $\xi,\tau,\sigma$ に対し $$[\xi\times\tau,\sigma] \approx [\tau,[\xi,\sigma]] \quad (\exp \text{ が同相}).$$

証明の骨子: $\exp$ の連続性——$h\in\lim_{[\xi\times\tau,\sigma]}\mathcal{H}$、すなわち $h(x,y)\in\lim_\sigma\langle F\times G,\mathcal{H}\rangle=\lim_\sigma\mathcal{H}[F\times G]$（$x\in\lim_\xi F$、$y\in\lim_\tau G$）とする。これは $\exp(h)(y)(x)\in\lim_\sigma\exp[\mathcal{H}][G][F]$（各 $y\in\lim_\tau G$、$x\in\lim_\xi F$）と同じ内容——$\mathcal{H}[F\times G]=\exp[\mathcal{H}][G][F]$（記法 (XXIV.1.2) から）なので、これがちょうど $\exp(h)\in\lim_{[\tau,[\xi,\sigma]]}\exp[\mathcal{H}]$ の定義。

逆向き（$\mathrm{tp}$ の連続性）も対称的な計算で $\widehat{d}(x,y)\in\lim_\sigma G[F\times\mathcal{D}]$ という同じ式に帰着し、(XXIV.3.1) と一致することを確認。

これは関数空間の随伴（カリー化）の位相版——$Z^{X\times Y}\cong(Z^X)^Y$ という集合論的事実（cards/topology/exponentiation-transposition-bijection）が、$[\xi\times\tau,\sigma]\approx[\tau,[\xi,\sigma]]$ という収束の同相にまで持ち上がる。積 $\times$ と dual convergence $[\cdot,\cdot]$ が随伴対をなす、というカルテシアン閉圏の位相版の核心結果。cards/topology/prop-xxiv-6-1-initial-density-preimagewise・第XXV/XXVI章の双対性の理論全体の土台。