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指数化 $\exp$ と転置 $\mathrm{tp}$：$Z^{X\times Y}\leftrightarrow(Z^X)^Y$ の標準的な相互全単射

  • 指数化 $\exp$ と転置 $\mathrm{tp}$：$Z^{X\times Y}\leftrightarrow(Z^X)^Y$ の標準的な相互全単射 #Card
    • 2変数写像 $g:X\times Y\to Z$ と、「$Y$ から関数空間 $Z^X$ への写像」を対応させる標準的な構成は。

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$g\in Z^{X\times Y}$ に対し $\exp(g)\in(Z^X)^Y$ を $$\exp(g)(y)(x) := g(x,y)$$ で定義（指数化 exponentiation、$g:X\times Y\to Z$ なら $\exp(g):Y\to Z^X$）。

逆に $h\in(Z^X)^Y$ に対し $\mathrm{tp}(h)=\widehat{h}\in Z^{X\times Y}$ を $$\mathrm{tp}(h)(x,y) = \widehat{h}(x,y) := h(y)(x)$$ で定義（転置 transposition）。

$\mathrm{tp}\circ\exp$ と $\exp\circ\mathrm{tp}$ はいずれも恒等写像——$\exp$ と $\mathrm{tp}$ は互いに逆の全単射: $$Z^{X\times Y} \underset{\mathrm{tp}}{\overset{\exp}{\rightleftarrows}} (Z^X)^Y.$$

評価写像との関係: $\langle x,\exp(g)(y)\rangle=\exp(g)(y)(x)=g(x,y)$、すなわち $\mathrm{ev}\circ(i_X\times\exp(g))=g$；同様に $\langle x,h(y)\rangle=h(y)(x)=\widehat{h}(x,y)$、すなわち $\widehat{h}=\mathrm{ev}\circ(i_X\times h)$。

この2式が cards/topology/lemma-xxiv-3-1-exponential-map-bijection・cards/topology/thm-xxiv-3-2-exponential-law（指数法則 $[\xi\times\tau,\sigma]\approx[\tau,[\xi,\sigma]]$）の証明の骨格になる——「多変数写像の空間」と「関数空間への写像の空間」の集合論的な同一視を、収束の言葉での同相にまで引き上げる。