Classical (Dis)continuous Maps (古典的な不連続・連続写像) (Example IV.10.1)

• Classical (Dis)continuous Maps (古典的な不連続・連続写像) (Example IV.10.1) #Card
  • Heaviside 型・$1/x$・topologist’s sinus $\sin(1/x)$・$x\sin(1/x)$ の 4 つの $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$ 写像のうち連続なのはどれか。フィルターでの判定は？

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For the standard convergence $\nu_\mathbb{R}$, with the filter-base $\mathcal{E} := {,]-\varepsilon, 0[,: \varepsilon > 0}$（左から 0 に近づく）:

1. $f(x) := 0$ ($x<0$), $1$ ($x \geq 0$): 不連続——$\lim f[\mathcal{E}] = {0}$ だが $f(0) = 1$。
2. $h(x) := 1/x$ ($x \neq 0$), $h(0) := 0$: 不連続——$\lim h[\mathcal{E}] = \emptyset$（$+\infty$ に発散、$+\infty \notin \mathbb{R}$）。
3. Topologist’s sinus $g(0) := 0$, $g(x) := \sin(1/x)$: 不連続——$\lim g[\mathcal{E}] = \emptyset$（振動）。
4. $k(x) := x g(x) = x \sin(1/x)$: 連続——$|k(x) - k(0)| \leq |x - 0|$ で 0 でも押さえられる。

• 補題 IV.10.2: $f \in C(\nu_\mathbb{R}, \nu_\mathbb{R})$ が零点を持たなければ $1/f$ も連続。