📐 概一様収束（フィルター版）は概収束より細かい：$a_\mu\geq e_\mu$ (Proposition XXII.9.15)
- 📐 概一様収束（フィルター版）は概収束より細かい：$a_\mu\geq e_\mu$ (Proposition XXII.9.15) #Card
- フィルター版の概一様収束から概収束を導く議論は。
$0\in\lim_{a_\mu}\mathcal{F}$ とする。各 $k<\omega$ に対し $\mu(\Omega\setminus S_k)<2^{-k}$ かつ $0\in\lim\mathcal{F}(x)$（各 $x\in S_k$）なる $S_k$ が取れる（cards/topology/filter-convergence-almost-uniform の定義で $\varepsilon=2^{-k}$）。
$S:=\bigcup_{k<\omega}S_k$ とおくと $\mu(\Omega\setminus S)=0$（各 $\Omega\setminus S_k\supset\Omega\setminus S$ で $\mu(\Omega\setminus S_k)\to0$）かつ $S$ の各点は何らかの $S_k$ に属すので $0\in\lim\mathcal{F}(x)$（各 $x\in S$）。これはまさに cards/topology/filter-convergence-almost-everywhere の定義。
列の場合の Prop XXII.9.2 の証明と全く同じ構造（可算個の小さな例外集合の合併）——フィルターへの一般化がここでも自然に通る好例。