フィルターの概一様収束 $\lim_{a_\mu}\mathcal{F}$ (Definition XXII.9.14)
- フィルターの概一様収束 $\lim_{a_\mu}\mathcal{F}$ (Definition XXII.9.14) #Card
- $M$ 上のフィルター $\mathcal{F}$ が $0$ に概一様収束するとはどう定義するか（本質的上限 $|\cdot|_\infty$ を使って）。
$f|S$ を $f$ の $S$ への制限、$|h|\infty:=\inf{c:\mu{|h|>c}=0}$（本質的上限）とする。
$M$ 上のフィルター $\mathcal{F}$ が $0$ に 概一様収束（almost uniformly） :⟺ $0\in\lim_{a_\mu}\mathcal{F}$ :⟺ 各 $\varepsilon>0$ に対しある $S\in\mathscr{S}$ で $\mu(\Omega\setminus S)<\varepsilon$、かつ各 $\lambda>0$ に対しある $F\in\mathcal{F}$ で $|f|S|\infty<\lambda$（各 $f\in F$）。
$|\cdot|\infty$ で定義されているため $a\mu$ は自動的に測度論的（$|\cdot|\infty$ は $[f]\mu$ 上で定数）。
含意関係: $a_\mu\geq e_\mu$（cards/topology/prop-xxii-9-15-uniform-finer-everywhere）、$a_\mu\geq m_\mu$（cards/topology/prop-xxii-9-17-uniform-finer-measure）——古典的な列の場合の含意（Prop XXII.9.2・Lemma XXII.9.5）がフィルターへそのまま持ち上がる。