Skip to content
Journals Garden

測度論的収束（measure-theoretic convergence）の定義と商収束 $[\xi]_\mu$ (Section XXII.9, 式 XXII.9.3)

  • 測度論的収束（measure-theoretic convergence）の定義と商収束 $[\xi]_\mu$ (Section XXII.9, 式 XXII.9.3) #Card
    • 「測度論的」であるとは収束にどんな条件を課すことで、$\mu$-a.e. 同値類上の収束 $[\xi]_\mu$ はどう構成するか。

Back

Section titled “Back”

$M$ 上の収束 $\xi$ が 測度論的（measure-theoretic） :⟺ $F\in M$ 上のフィルターが $f\in M$ に $\xi$-収束し、$\varphi:M\to M$ が $\varphi(h)=h$ $\mu$-a.e.（各 $h$）を満たすならば、$\varphi(f)$ も $\varphi[\mathcal{F}]$ の極限になる——つまり $\mu$-a.e. の変更で収束が壊れない収束。

構成: $\Phi:M\to M_\mu$（$M_\mu$ は $\mu$-a.e. 同値類の集合、$[f]\mu:={g\in M:\mu{g\neq f}=0}$）を商写像とし、$\Phi(f):=[f]\mu$（式 XXII.9.3）。$\xi$ 上の収束に対し $[\xi]_\mu:=\Phi\xi$（cards/topology/final-convergence としての終収束、脚注により「商収束」と呼ぶ）。

測度論的な収束どうしの順序は同値類上の順序に完全に帰着する: $\xi,\theta$ が測度論的なら $\xi\leq\theta\iff[\xi]\mu\leq[\theta]\mu$。特に $\xi$ が測度論的なら $[\operatorname{Seq}\xi]\mu=\operatorname{Seq}([\xi]\mu)$。

本節の3つのフィルター収束 $e_\mu$（概収束）・$a_\mu$（概一様収束）・$m_\mu$（測度収束）のうち、$a_\mu,m_\mu$ は測度論的だが $e_\mu$ 自身は測度論的でない（Example XXII.9.12 で反例、可算台修正 $\mathbb{E}e_\mu$ にすれば測度論的になる：Prop XXII.9.13）。

Meaning

Section titled “Meaning”

この定義の狙いは「$\mu$-a.e. 同値で同じ関数は、収束の観点でも同一視されるべき」という測度論の原理を収束構造の公理として切り出すことにある。著者は商写像 $\Phi$ と終収束 $[\xi]_\mu$ を使って、この不変性を機械的に保証する枠組みを与える。

出典: refs/math/topology/royal-road-to-topology/pdfs/chp22-2024-implementations-and-refinements.pdf p.549–551