フィルターの概収束 $\lim_{e_\mu}\mathcal{F}$ (Definition XXII.9.11)
- フィルターの概収束 $\lim_{e_\mu}\mathcal{F}$ (Definition XXII.9.11) #Card
- $M$ 上のフィルター $\mathcal{F}$ が $f_\infty$ に概収束するとはどう定義するか。
各 $x\in\Omega$ に対し $\mathcal{F}(x):={{f(x):f\in F}:F\in\mathcal{F}}$（$\mathbb{R}$ 上のフィルター）とおく。
$M$ 上のフィルター $\mathcal{F}$ が $f_\infty\in M$ に 概収束（almost everywhere） :⟺ $f_\infty\in\lim_{e_\mu}\mathcal{F}$ :⟺ ある $S\in\mathscr{S}$ が存在し $\mu(\Omega\setminus S)=0$ かつ各 $x\in S$ で $f_\infty(x)\in\lim\mathcal{F}(x)$。
$\mathcal{F}$ が列フィルター（${{f_n:n>k}:k<\omega}$ を基とする）のとき、この定義は古典的な概収束（cards/topology/classical-measure-theoretic-convergences）に一致する。
重要な注意: この収束 $e_\mu$ 自体は測度論的ではない（Example XXII.9.12）。可算台修正（cards/topology/countably-carried-filter の意味での修正、$\mathbb{E}e_\mu$）を取って初めて測度論的になる（Prop XXII.9.13）。