測度論の古典的な3つの列収束（測度収束・概一様収束・概収束） (Definition XXII.9.1)
- 測度論の古典的な3つの列収束（測度収束・概一様収束・概収束） (Definition XXII.9.1) #Card
- 可測関数の列 $(f_n)_n$ が $f$ に「測度収束」「概一様収束」「概収束」するとはそれぞれどう定義するか。
$(\Omega,\mathscr{S},\mu)$ を測度空間、$M$ を可測関数全体とする。$(f_n)_n\subset M$ が $f\in M$ に：
- 測度収束（in measure）: 各 $\eta>0$ に対し $\lim_{n\to\infty}\mu{|f_n-f|\geq\eta}=0$。
- 概一様収束（almost uniformly）: 各 $\lambda>0$ に対しある $A$ が存在し $\mu(\Omega\setminus A)<\lambda$ かつ $\lim_{n\to\infty}\sup_{x\in A}|f_n(x)-f(x)|=0$。
- 概収束（almost everywhere）: ある $A$ が存在し $\mu(\Omega\setminus A)=0$ かつ各 $x\in A$ で $\lim_{n\to\infty}|f_n(x)-f(x)|=0$。
いずれも $M^{\mathbb{N}}\times M$ 上の関係として表せる（第XVI.3節の意味で、これらを sequentially founded 収束へ拡張する土台となる）。三者の含意関係（概一様 ⟹ 概収束、有限測度なら逆＝Egorovの定理、概一様 ⟹ 測度収束）は本節の Prop XXII.9.2・9.4・Lemma XXII.9.5 で確立される。
Meaning
Section titled “Meaning”XXII.9 冒頭で著者は、測度論の収束が列で定義される理由を「測度の可算加法性」に結びつける。Definition XXII.9.1 は三つの古典収束を同一画面で比較可能に置くことで、後続の filter 収束への埋め込みと差異分析の基準点を与える。
出典:
refs/math/topology/royal-road-to-topology/pdfs/chp22-2024-implementations-and-refinements.pdfp.545–546
Mathlib: MeasureTheory.TendstoInMeasure（測度収束）、MeasureTheory.ae／Filter.Eventually（概収束、∀ᵐ x ∂μ, ...）、MeasureTheory.Egorov（概一様収束・Egorovの定理関連）。