Ultrafilter (極大フィルター / ウルトラフィルター) (Definition II.3.9)
- Ultrafilter (極大フィルター / ウルトラフィルター) (Definition II.3.9) #Card
- A proper filter $\mathcal{U}$ that is maximal with respect to inclusion (i.e., $\mathcal{H} \supset \mathcal{U} \implies \mathcal{H} = \mathcal{U}$ for any proper filter $\mathcal{H}$).
A proper filter $\mathcal{U}$ that is maximal with respect to inclusion (i.e., $\mathcal{H} \supset \mathcal{U} \implies \mathcal{H} = \mathcal{U}$ for any proper filter $\mathcal{H}$).
Meaning
Section titled “Meaning”ウルトラフィルター $\mathcal{U}$ は、任意の proper filter $\mathcal{H}$ について $\mathcal{H} \supset \mathcal{U}$ なら $\mathcal{H} = \mathcal{U}$ となる proper filter である。言い換えれば、$\mathbb{F}X$ の極大元である。
各 proper filter $\mathcal{F}$ について、$\mathcal{F}$ を含む ultrafilter が存在する（Kuratowski–Zorn）。$x \in X$ に対する主フィルター $x^\uparrow = {F \subset X : x \in F}$ も ultrafilter である。
Figure II.3.1: 最粗な filter は ${X}$、$\mathbb{U}X$ は maximal proper filter の集合、退化 filter $2^X$ が finest である。
出典:
refs/math/topology/royal-road-to-topology/pdfs/chp2-2024-from-convergence-of-sequences-to-the-concept-of-filter.pdfp.28–29
Ultrafilter X（極大な NeBot フィルター）