📐 Proposition XV.4.2（$\mathcal{F}$ が $\mathcal{R}^\natural$-Cauchy ⟺ $\mathcal{F}\times\mathcal{F}\geq\mathcal{R}$）
- 📐 Proposition XV.4.2（$\mathcal{F}$ が $\mathcal{R}^\natural$-Cauchy ⟺ $\mathcal{F}\times\mathcal{F}\geq\mathcal{R}$） #Card
- 対称化 $\mathcal{R}^\natural$ による Cauchy 性を、フィルターの直積フィルターの言葉でどう言い換えるか。
$$\mathcal{F}\text{ is }\mathcal{R}^\natural\text{-Cauchy} \iff \mathcal{F}\times\mathcal{F}\geq\mathcal{R}.$$
証明（⟸）: $R\in\mathcal{R}$、$F\times F\subset R$ なる $F\in\mathcal{F}$ を取る。$x\in F$ なら $F=(F\times F)x\subset Rx$ かつ $F=(F\times F)^-x\subset R^-x$、よって $(R\cap R^-)x\in\mathcal{F}$。
（⟹）: $R\in\mathcal{R}$、$P\circ P\subset R$ なる $P\in\mathcal{R}$ を取る。$\mathcal{R}^\natural$-Cauchy 性から $F\subset(P\cap P^-)x$ なる $F\in\mathcal{F},x\in X$ が存在。$(a,b)\in F\times F$ なら $a\in P^-x,b\in Px$ より $(a,b)\in P\circ P\subset R$、ゆえに $F\times F\subset R$。
$\mathcal{F}\times\mathcal{F}$（フィルターの直積）と entourage の順序 $\geq$ を使った、対称的な Cauchy 性の最も直接的な言い換え。