📐 Corollary IX.2.15・Proposition IX.2.16（density ≤ weight、距離化可能なら等号）
- 📐 Corollary IX.2.15・Proposition IX.2.16（density ≤ weight、距離化可能なら等号） #Card
- 稠密度 $d(\xi)$ と weight $w(\xi)$ の一般的な不等式、距離化可能な場合の等号成立の証明の鍵は。
$$d(\xi) \leq w(\xi)$$
（base の各元から1点ずつ選ぶと cards/topology/density-and-separability の意味で稠密集合になる。）
Prop IX.2.16（距離化可能なら等号）: $\xi$ が距離 $d$ で距離化可能、稠密集合 $W$（$\operatorname{card}W=d(\xi)$）を取ると $$\mathcal{B} := {B_d(w,2^{-n}) : w\in W,\ n<\omega}$$ は base（$\operatorname{card}\mathcal{B}=d(\xi)\cdot\aleph_0=d(\xi)$）。ゆえに $w(\xi)\leq d(\xi)$、等号成立。
「稠密集合の周りに半径を $2^{-n}$ 刻みで球を並べれば任意の開集合に食い込める」という距離特有の議論（三角不等式が本質）。この議論は距離化不可能な位相には拡張できない（Remark IX.2.18、反例が次カード）。