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📐 測度収束 $m_\mu$ は $\{e_\lambda\}$ を連続にする最細の収束 (Proposition XXII.9.18)

  • 📐 測度収束 $m_\mu$ は ${e_\lambda}$ を連続にする最細の収束 (Proposition XXII.9.18) #Card
    • 測度収束を「実数値汎関数の族の連続性」でどう特徴づけるか、その帰結（可分性・距離化可能性）は。

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$e_\lambda(f,g):=\mu{|f-g|\geq\lambda}$（$\lambda>0$）とおく。$e_\lambda(f,g)=0$（すべての $\lambda$）$\iff f=g$ $\mu$-a.e.、また $f_\infty\in\lim_{m_\mu}\mathcal{F}\iff$ 各 $\lambda>0$ でフィルター $e_\lambda[\mathcal{F},f_\infty]:={{e_\lambda(f,f_\infty):f\in F}:F\in\mathcal{F}}$ が $0$ に収束（$\mathbb{R}_+$ 上）。

Prop XXII.9.18: $m_\mu$ は、汎関数の族 ${e_\lambda(\cdot,f):\lambda>0,f\in M}$ をすべて連続にする収束の中で最細（すなわち $m_\mu$ は ${e_\lambda(\cdot,f)}$ による始収束）。

系（本文の続き）: $[m_\mu]\mu$ は Hausdorff・関数的正則（＝完全正則）・可算指標の位相。$\mu$ を有界閉区間上の Lebesgue 測度とすると、有理数値の単関数が稠密（$\mu{|s|>\lambda}<\varepsilon$ なる有理端点の単関数 $s$ が取れ、可算個で尽くせる）ので $[m\mu]\mu$ は可分。Urysohn の距離化定理（cards/topology/urysohn-metrization-theorem）により $[m\mu]_\mu$ は距離化可能（Cor XXII.9.19 へつながる）。