Proposition IV.6.12 (自由性は積で保存)
- Proposition IV.6.12 (自由性は積で保存) #Card
- free ($T_1$) 収束の積はどうなるか。
Every product of free (alias $T_1$) convergences is free.
証明の骨子. 自由 ($T_1$) = 収束するフィルターの核が極限に含まれる: $\varphi \in \lim_\xi \mathcal{F} \Rightarrow \operatorname{ker}\mathcal{F} \subset {\varphi}$（cards/topology/prop-iii-1-14、cards/topology/free-convergence-t1）。$\varphi \in \lim_{\prod_j \tau_j}\mathcal{F}$ とする。積の定義より各 $j$ で $\varphi(j) \in \lim_{\tau_j} p_j[\mathcal{F}]$、$\tau_j$ が自由なので $\operatorname{ker} p_j[\mathcal{F}] \subset {\varphi(j)}$。像と核の関係 $p_j(\operatorname{ker}\mathcal{F}) \subset \operatorname{ker} p_j[\mathcal{F}]$（IV.10.4、cards/topology/lem-iv-10-7）から $\operatorname{ker}\mathcal{F} \subset p_j^-(\operatorname{ker} p_j[\mathcal{F}]) \subset p_j^-(\varphi(j))$。これを全 $j$ で交わして $$\operatorname{ker} \mathcal{F} \subset \bigcap_{j \in J} p_j^-(\varphi(j)) = {\varphi}.$$ ゆえに $\prod_j \tau_j$ も自由。∎
Pi.instT1Space