📐 Theorem XII.1.13（Heine の一様連続性定理）
- 📐 Theorem XII.1.13（Heine の一様連続性定理） #Card
- コンパクトな距離空間の間の連続写像について、Heine の定理は何を主張するか。証明のアイデアは。
$(X,d_X)$ がコンパクトな距離空間、$(Y,d_Y)$ が距離空間なら、連続写像 $f:X\to Y$ は一様連続。
証明（背理法）: 一様連続でないなら、ある $\varepsilon>0$ に対し $d_X(x_n,w_n)<2^{-n}$ かつ $d_Y(f(x_n),f(w_n))\geq\varepsilon$ となる点列対が取れる。距離化可能空間ではコンパクト性＝列コンパクト性が一致するので、共通の収束部分列を取って $x_\infty=w_\infty$（三角不等式）を導き、連続性から $f(x_\infty)=f(w_\infty)$ となって $d_Y\geq\varepsilon$ と矛盾。
一様連続性は距離の言葉（$\varepsilon$-$\delta$）でしか定義できない概念だが、コンパクト性という位相的性質だけから自動的に従うという典型例。