Linear order topology（Example IX.3.5）／📐 Theorem IX.3.6（コンパクト ⟺ 完備束）
- Linear order topology（Example IX.3.5）／📐 Theorem IX.3.6（コンパクト ⟺ 完備束） #Card
- 線形順序位相の定義と、コンパクト性が完備束であることと同値になる理由（証明の骨子）は。
線形順序集合 $(Z,\leq)$ 上、${z<s},{z>r}$ を subbase とする位相。$\mathbb{R},\mathbb{Q},[0,1]$（標準順序）が例。
Thm IX.3.6: 線形順序位相がコンパクト $\iff$ $(Z,\leq)$ が完備束（任意の非空部分集合が sup を持つ）。
($\Rightarrow$、対偶）: 完備でないなら sup を持たない $A$ を取り、${z<a:a\in A}\cup{z>b:b\in A^+}$（$A^+$=上界の集合）が有限部分被覆を持たない開被覆になる。
($\Leftarrow$）: $S:={s:[0,s[\text{ が有限部分被覆を持つ}}$、$s^+:=\sup S$ を考え、$s^+\notin S$ と仮定すると矛盾（$s^+$ を含む被覆元の左端 $r$ が $S$ に入り $r=\sup S$ に反する）— sup の存在を「有限被覆の壁」の上限として使う議論。
応用: $\omega_1\cup{\omega_1}$（第一非可算順序数、Example IX.3.7）は完備束なのでコンパクト。