Example XV.4.3（quasi-uniformity で近傍フィルターが $\mathcal{R}^\natural$-Cauchy とは限らない反例）
- Example XV.4.3（quasi-uniformity で近傍フィルターが $\mathcal{R}^\natural$-Cauchy とは限らない反例） #Card
- 収束する近傍フィルター自身が、対称化された Cauchy 条件を満たさない具体例は。
$X:={0}\cup{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}_1}$。$R_m:={(0,\frac1n):n>m}\cup\Delta$ を base として quasi-uniformity $\mathcal{R}$ を定める（$R_m\circ R_m=R_m$ なので quasi-uniformity 条件は自明に満たす）。$\lambda\mathcal{R}$ は $0$ を中心とする prime 位相（$0$ の近傍フィルターは cofinite filter）。
一方 $\mathcal{R}^\natural={\Delta}^\uparrow$（対称化すると離散的に潰れる）なので、$\mathcal{R}^\natural$-Cauchy フィルターは主超フィルター（principal ultrafilter）に限られる。結果として、$\lambda\mathcal{R}$-近傍フィルター（$0$ に収束する cofinite filter）は $\mathcal{R}^\natural$-Cauchy でない — quasi-uniformity では「収束フィルターは Cauchy」という自明な事実が、対称化した強い Cauchy 条件では崩れることを示す。