Proposition IV.6.11 (Hausdorff は積で保存)
- Proposition IV.6.11 (Hausdorff は積で保存) #Card
- Hausdorff 収束の積はどうなるか。
Every product of Hausdorff convergences is Hausdorff.
証明の骨子. Hausdorff = 各フィルターの極限が高々 1 点（$|\lim \mathcal{F}| \leq 1$）。${f, g} \subset \lim_{\prod_j \tau_j} \mathcal{F}$ とする。積収束の定義（cards/topology/product-convergence）より $\varphi \in \lim_{\prod \tau_j}\mathcal{F} \iff \forall j,\ \varphi(j) \in \lim_{\tau_j} p_j[\mathcal{F}]$（射影 $p_j$）。したがって各座標 $j$ で ${f(j), g(j)} \subset \lim_{\tau_j} p_j[\mathcal{F}]$。$\tau_j$ の Hausdorff 性から $f(j) = g(j)$。これがすべての $j$ で成り立つので $f = g$。ゆえに $\prod_j \tau_j$ も Hausdorff。∎
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