📐 Lemma XV.2.4・Corollary XV.2.5（距離化補題：uniformity から擬距離を作る）
- 📐 Lemma XV.2.4・Corollary XV.2.5（距離化補題：uniformity から擬距離を作る） #Card
- uniformity の対称減少列 ${V_n}$ から擬距離を構成する古典的な補題（metrization lemma）の要点は。
Lemma XV.2.4: uniformity $\mathcal{V}$ 上、entourage の対称減少列 ${V_n:n<\omega}\subset\mathcal{V}$（$V_n^-=V_n$, $V_0=X\times X$, $V_1=V$, $V_{n+1}^3\subset V_n$）が与えられたとき、擬距離 $d:X\times X\to\mathbb{R}+$ が存在して $$V_n\subset{d\leq 2^{-n}}\subset V{n-1} \tag{XV.2.3}$$ （$n\in\mathbb{N}1$）。構成: $f(x,y):=2^{-n}$ if $(x,y)\in V_n\setminus V{n+1}$（$0$ if $(x,y)\in\bigcap V_n$）、$d(x,y):=\inf{\sum_{m=1}^k f(x_{m-1},x_m): x=x_0,\dots,x_k=y}$（鎖上の $f$ の和の下限、$2$倍の評価 $f\leq 2d$ を帰納法で示す）。
Cor XV.2.5: したがって、各 uniformity は、それを決定する（uniformly continuous な）擬距離の族 ${d_U:U\in\mathcal{U}}$ を持つ — ${d_U(\cdot,x)<2^{-n}}$（$x\in X,n<\omega,U\in\mathcal{U}$）が $\lambda\mathcal{U}$ の開基。「uniformity = 擬距離のゲージ（族）」という古典的な同値性の核心的な半分。