📐 Proposition XII.3.3・Lemma XII.3.4（countably compact ⟺ pseudocompact、normal 前提で）
- 📐 Proposition XII.3.3・Lemma XII.3.4（countably compact ⟺ pseudocompact、normal 前提で） #Card
- countably compact ⟹ pseudocompact の証明の要点は。逆向き（normal 前提）はどう証明するか。
Prop XII.3.3: countably compact な位相は functionally compact（pseudocompact）。
証明: $f\in C(\xi,\nu)$ に対し $X\subset\bigcup_{n<\omega}{|f|<n}$（可算開被覆）。countable compactness から有限部分被覆が取れ、$f$ は有界。
Lemma XII.3.4（逆、normal 前提）: Hausdorff・functionally compact・normal な位相は countably compact。
証明（対偶）: countably compact でないなら、cards/topology/countably-compact の特徴づけ経由で可算な閉離散部分空間 $A={a_n}$ が取れる。$A$ 上で $f(a_n):=n$ は $\tau_A$-連続（離散だから）。normal 性から Tietze の拡張定理（cards/topology/tietze-extension-theorem）で $X$ 全体に非有界に拡張でき、functionally compact に反する。
normality が本質的: このギャップを埋める仮定がないと、pseudocompact だが countably compact でない例（MAD 位相）が存在する。