📐 Theorem XII.6.5（Hausdorff）・Proposition XII.6.6（超フィルター全体の濃度）
- 📐 Theorem XII.6.5（Hausdorff）・Proposition XII.6.6（超フィルター全体の濃度） #Card
- independent family の定義と存在定理、そこから従う $\beta X$（超フィルター全体）の濃度公式は。
$A\subset2^X$ が independent（独立族）:⟺ 任意の有限部分族 $A_0\subset A$ と関数 $f:A_0\to{0,1}$ に対し $\bigcap_{A\in A_0}A^{f(A)}\neq\emptyset$（$A^0:=A,\ A^1:=X\setminus A$）。
Thm XII.6.5（Hausdorff）: 無限集合 $X$ 上には濃度 $2^{\operatorname{card}X}$ の独立族が存在する。証明: Hewitt–Marczewski–Pondiczery（cards/topology/thm-xii-6-3-hewitt-marczewski-pondiczery）で作った稠密部分集合を使い、射影の逆像の族を取る。
Prop XII.6.6: 濃度 $\kappa$ の無限集合 $X$ について $\operatorname{card}(\beta X)=2^{2^\kappa}$。
証明: 独立族から $2^\kappa$ 個の互いに mesh しない超フィルター基を作れる（各 $f:A\to{0,1}$ ごとに1つ）ので $\operatorname{card}\beta X\geq2^{2^\kappa}$。一方 $\beta X\subset2^{(2^X)}$ から上からも抑えられる。
Corollary XII.6.7: $\operatorname{card}(\beta\mathbb{N})=2^{\mathfrak{c}}$ — 可算集合の超フィルター全体は連続体よりさらに巨大。