📐 Theorem XII.6.3（Hewitt–Marczewski–Pondiczery の定理）
- 📐 Theorem XII.6.3（Hewitt–Marczewski–Pondiczery の定理） #Card
- 稠密度 $\leq\kappa$ の空間を $2^\kappa$ 個積んでも稠密度が $\kappa$ を超えない、という定理の主張と、そこから従う Cantor 立方体の稠密度は。
$\kappa$ が無限基数で、各 $t\in2^\kappa$ に対し $d(\tau_t)\leq\kappa$ なら $$d\Big(\prod_{t\in2^\kappa}\tau_t\Big)\leq\kappa.$$
証明の骨子: 各因子の稠密部分集合 $A_t$（$\operatorname{card}A_t\leq\kappa$）の積は稠密（Lemma XII.6.2 の離散版の議論を経由）。$\prod_t A_t$ 上の離散積の稠密度が $\kappa$ 以下であることを、有限個の基本開集合の指定に対し合致する「区分定数」選択の個数を数えて示す（Lemma XII.6.1・XII.6.2）。
Corollary XII.6.4: Cantor 立方体 $\iota^{\mathfrak{c}}$ の稠密度は $\aleph_0$（$\kappa=\aleph_0$、$2^{\aleph_0}=\mathfrak{c}$ のケース）、weight は $\mathfrak{c}$、濃度は $2^{\mathfrak{c}}$。
「非可算個の因子を積んでも可算稠密部分集合が取れる」という反直感的な事実 — 分離的（separable）な空間の巨大な積が依然として分離的でありうることの深い理由。