📐 Lemma VIII.4.1（free 収束での点列の adherence 公式）
- 📐 Lemma VIII.4.1（free 収束での点列の adherence 公式） #Card
- free（$T_1$）収束で、点列の値域集合の adherence を列の adherence でどう表すか。
$\xi$ が free（$T_1$）なら、任意の点列 $(x_n)n$ について: $$\operatorname{adh}\xi{x_n : n<\omega} = {x_n : n<\omega} \cup \operatorname{adh}_\xi(x_n)_n.$$
証明: $x\in\operatorname{adh}\xi{x_n:n<\omega}$ ⟺ ある $\mathcal{U}\in\beta{x_n}$ で $x\in\lim\xi\mathcal{U}$。$\mathcal{U}$ が principal（$=x_n^\uparrow$）なら free 性から $x=x_n$。$\mathcal{U}$ が free なら $\mathcal{U}\geq\mathcal{E}$（${x_n}$ の cofinite フィルター）で $x\in\operatorname{adh}\xi\mathcal{E}=\operatorname{adh}\xi(x_n)_n$（cards/topology/lem-viii-1-2-ultrafilter-adherence 経由）。
「値域集合の集積点＝列自身の点 ∪ 真の集積点（極限）」という古典的な点列コンパクト性の議論の土台。