Example XII.4.3（コンパクトだが点列コンパクトでない位相：$\{0,1\}^{[0,1]}$）
- Example XII.4.3（コンパクトだが点列コンパクトでない位相：${0,1}^{[0,1]}$） #Card
- なぜ立方体 ${0,1}^{[0,1]}$ は Tikhonov の定理でコンパクトなのに、点列コンパクトでないのか。
$\eta:=\prod_{r\in[0,1]}\iota(r)$（各因子は ${0,1}$ の離散位相）とすると、cards/topology/tikhonov-theorem（Thm VIII.3.4）により $\eta$ はコンパクト。
点列コンパクトでない証拠: 各 $r\in[0,1]$ の2進展開 $r=\sum_n r_n/2^n$ を使い、$f_n(r):=r_n$ で点列 $(f_n)n$ を定める。もし収束部分列 $(f{n_k})k\to f$ があれば、各 $r$ で有限段先は一致するはずだが、$r{n_k}$ が偶奇で $0,1$ を交互に取るような $r$ を選ぶと矛盾。
教訓: 非可算積では「各成分ごとの収束」＝点列の言葉での収束が、可算個の反例的な成分の組み合わせによって崩れる — コンパクト性（有限被覆の言葉）と点列コンパクト性（可算的な言葉）の乖離が、非可算性という「大きさ」から生じる典型例。