📐 Theorem XXIV.1.3（値域が正則なら $C(\xi,\sigma)$ は dual convergence で閉）
- 📐 Theorem XXIV.1.3（値域が正則なら $C(\xi,\sigma)$ は dual convergence で閉） #Card
- cards/topology/example-xxiv-0-2-pointwise-limit-not-continuous のような病理を避けるにはどんな条件が必要か。
Theorem XXIV.1.3: $\sigma$ が正則（regular）な収束なら、$C(\xi,\sigma)$ は $\sigma^\xi$-閉（cards/topology/dual-natural-convergence の意味での dual convergence で閉）。
証明の骨子: $f\in\lim_{\sigma^\xi}\mathcal{F}$、$C(\xi,\sigma)\in\mathcal{F}$ とする。正則性から $\lim_\sigma\langle G,\mathcal{F}\rangle\subset\lim_\sigma\widehat{\mathrm{adh}}\sigma\langle G,\mathcal{F}\rangle$ を使い、$f[G]\geq\widehat{\mathrm{adh}}\sigma\langle G,\mathcal{F}\rangle$ を示すことに帰着——$f(x)\in\lim_\sigma\langle x,\mathcal{F}\rangle$（$x\in\lim_\xi x^\uparrow$ だから）であり、$f(G)\subset\mathrm{adh}_\sigma\langle G,F\rangle$ が各 $G\in G,F\in\mathcal{F}$ で成り立つことから従う。
逆も成立（証明は長大なので割愛）: $\sigma$ が正則 $\iff$ 任意の $\xi$（同値に任意の位相）に対し $C(\xi,\sigma)$ が $\sigma^\xi$-閉。
すなわち「連続写像の空間が dual convergence で閉になるか」は値域の正則性のみで決まる——cards/topology/example-xxiv-0-2-pointwise-limit-not-continuous の $I$（正則）でも各点収束（$p(\iota,\nu)$、dual convergence より真に粗い）では閉性が壊れることと対比すると、dual convergence の強さが本質的に効いている。