$C(\xi,\sigma)$ は各点収束で閉とは限らない（Example XXIV.0.2）
- $C(\xi,\sigma)$ は各点収束で閉とは限らない（Example XXIV.0.2） #Card
- 連続写像の列の各点収束極限が連続とは限らない古典的な例は。
$C(I,I)\subset I^I$（単位区間 $I=[0,1]$ 上の連続関数全体）を考える。$f_n(x):=x^n$ は各点収束で $\chi_{{1}}$（${1}$ の特性関数）に収束するが、これは明らかに不連続。
したがって $C(\xi,\sigma)$ は $p(\iota,\nu)$-閉（各点収束位相で閉）とは限らない。これが本章の中心的な問い——「連続写像の空間に、連続性が保たれるような収束を与えるにはどうするか」——の出発点になる。答えが cards/topology/dual-natural-convergence（$\sigma$-dual/natural convergence）で、cards/topology/thm-xxiv-1-3-regular-codomain-natural-closed により $\sigma$ が正則なら $C(\xi,\sigma)$ はその収束で閉になる。
一様収束（cards/topology/uniform-convergence-metrizable）でも同じ現象が回避される（連続関数の一様極限は連続）——各点収束の弱さが本質的な原因。