境界 $\partial_\xi A$（Definition IX.1.8）と clopen 集合（Definition IX.1.10）
- 境界 $\partial_\xi A$（Definition IX.1.8）と clopen 集合（Definition IX.1.10） #Card
- 境界の定義と閉包・内部での表示、clopen の定義と境界による特徴づけは。
$$\partial_\xi A := \operatorname{cl}\xi A \cap \operatorname{cl}\xi(X\setminus A) = \operatorname{cl}\xi A \setminus \operatorname{int}\xi A. \tag{IX.1.1}$$
$\partial_\xi A=\partial_\xi(X\setminus A)$。離散位相 $\iota$: $\partial_\iota A=\emptyset$（常に）。カオス位相 $o$: $\partial_o A=X$（$\emptyset\neq A\neq X$）。
Clopen（Def IX.1.10）: 閉かつ開。$A$ が clopen $\iff \operatorname{cl}\xi A\subset A\subset\operatorname{int}\xi A$（(IX.1.2)）。
Prop IX.1.11: $A$ が clopen $\iff \partial_\xi A=\emptyset$。
例: $\partial_{\nu_\mathbb{R}}[0,1]=\partial_{\nu_\mathbb{R}}[0,1[=\partial_{\nu_\mathbb{R}}]0,1[={0,1}$（Example IX.1.9、境界は端点の開閉に依存しない）。