Proposition IV.2.6 (距離化可能なら連続性は列で決まる)
- Proposition IV.2.6 (距離化可能なら連続性は列で決まる) #Card
- 距離化可能な収束の間の連続性の列による特徴づけ。一般には？
If $\xi$ and $\tau$ are metrizable convergences, then $f \in C(\xi, \tau)$ if and only if $$x \in \lim_\xi (x_n)n \implies f(x) \in \lim\tau (f(x_n))_n$$ for each sequence $(x_n)_n$ of elements of $|\xi|$（列連続性）.
- 一般には列では足りない（Example IV.2.7）: $i_\mathbb{R} \in C(\sigma_\mathbb{R}, \nu_\mathbb{R})$ だが $i_\mathbb{R} \notin C(\nu_\mathbb{R}, \sigma_\mathbb{R})$——$\nu_\mathbb{R}$ と $\sigma_\mathbb{R}$ は列については一致するのに、収束としては異なるため。
証明の骨子. 距離 $d_\xi, d_\tau$ を固定し、(IV.2.4) の $\varepsilon$–$\delta$ 条件（cards/topology/lem-iv-2-5）を経由する。
- ($\Rightarrow$) $f \in C(\xi,\tau)$ なら (IV.2.4) が成立。$x \in \lim_\xi (x_n)n$ すなわち $d\xi(x_n, x) \to 0$ なら、各 $\varepsilon$ に対応する $\delta$ について十分大きい $n$ で $d_\xi(x_n,x) < \delta$、よって $d_\tau(f(x_n), f(x)) < \varepsilon$。ゆえに $f(x) \in \lim_\tau (f(x_n))_n$。
- ($\Leftarrow$／対偶） (IV.2.4) が破れると、ある $\varepsilon > 0$ に対し各 $n$ で $d_\xi(x_n, x) < 2^{-n}$ かつ $d_\tau(f(x_n), f(x)) \geq \varepsilon$ となる点列が取れる。この $(x_n)$ は $x$ に収束するが $(f(x_n))$ は $f(x)$ に収束しないので、列連続性 (IV.2.5) が破れる。ゆえに列連続 ⇒ (IV.2.4) ⇒ 連続。
- 距離化可能性が本質的で、一般には列で判定できない（$\nu_\mathbb{R}!/!\sigma_\mathbb{R}$ の反例 Example IV.2.7、位相版は Fréchet–Urysohn 性）。∎
Metric.continuous_iff' / SeqContinuous.continuous（FrechetUrysohnSpace で列連続 ⇒ 連続）