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Lemma IV.2.5 (連続写像と近傍系フィルター)

  • Lemma IV.2.5 (連続写像と近傍系フィルター) #Card
    • $f \in C(\xi, \tau)$ のとき近傍系フィルターはどう対応するか。逆はいつ成り立つか。

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If $f \in C(\xi, \tau)$, then for each $x \in |\xi|$, $$f[V_\xi(x)] \geq V_\tau(f(x)). \tag{IV.2.3}$$

  • $\tau$ が前位相なら逆も成立: $f \in C(\xi, \tau) \iff$ (IV.2.3) for each $x$。
  • $\xi, \tau$ が距離化可能なら (IV.2.3) は $\varepsilon$–$\delta$ 条件 (IV.2.4) に言い換わる: $\forall \varepsilon > 0\ \exists \delta > 0\ \forall w,\ d_\xi(w,x) < \delta \implies d_\tau(f(w), f(x)) < \varepsilon$。

証明の骨子. 近傍系フィルター $V_\xi(x) = \bigwedge \xi^-(x)$（$x$ に収束するフィルターすべての下限）を使う。

  • (IV.2.3): $W \in V_\tau(f(x))$ を取る。$f \in C(\xi,\tau)$ より各 $\mathcal{F} \in \xi^-(x)$ で $f[\mathcal{F}] \in \tau^-(f(x))$、よって $W \in f[\mathcal{F}]$、すなわち $f^-(W) \in \mathcal{F}$。これがすべての $\mathcal{F} \in \xi^-(x)$ で成り立つので $f^-(W) \in V_\xi(x)$。ゆえに $W \supset f(f^-(W)) \in f[V_\xi(x)]$、つまり $f[V_\xi(x)] \geq V_\tau(f(x))$。
  • 前位相での逆: $\tau$ が前位相なら $V_\tau(f(x)) \in \tau^-(f(x))$ 自身が最粗収束フィルター（cards/topology/prop-iii-1-11）。(IV.2.3) すなわち $f[V_\xi(x)] \geq V_\tau(f(x))$ から、任意の $\mathcal{F} \in \xi^-(x)$（$\mathcal{F} \geq V_\xi(x)$）に対し $f[\mathcal{F}] \geq f[V_\xi(x)] \geq V_\tau(f(x))$、ゆえに $f[\mathcal{F}] \in \tau^-(f(x))$ で連続。
  • 距離版: 距離化可能な前位相では $V_\xi(x)$ は $\varepsilon$-球基底を持つので (IV.2.3) は (IV.2.4) の $\varepsilon$–$\delta$ 条件に翻訳される。∎

Lean

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位相の場合 ContinuousAt.tendsto : Tendsto f (𝓝 x) (𝓝 (f x)) = map f (𝓝 x) ≤ 𝓝 (f x)