Final Convergence w.r.t. a Family (写像族に関する終収束) (Section IV.8)
- Final Convergence w.r.t. a Family (写像族に関する終収束) (Section IV.8) #Card
- Given $\xi_j$ on $X_j$ and $f_j : |\xi_j| \to Y$, the finest convergence on $Y$ making all $f_j$ continuous is $\bigwedge_{j \in J} f_j \xi_j$; universal property: $h \in C(\tau, \upsilon) \iff h \circ f_j \in C(\xi_j, \upsilon)$ for each $j$.
Given convergences $\Xi = {\xi_j : j \in J}$ and maps $f_j : |\xi_j| \to Y$, the finest convergence on $Y$ for which each $f_j$ is continuous——the final convergence with respect to ${(\xi_j, f_j)}$——equals $$\bigwedge_{j \in J} f_j \xi_j.$$
- 普遍性（Proposition IV.8.1）: $\tau$ がこの終収束なら $h \in C(\tau, \upsilon) \iff h \circ f_j \in C(\xi_j, \upsilon)$ for each $j \in J$——終収束からの連続性は合成で判定（余錐の普遍性、cards/topology/prop-iv-4-5 の双対）。
- 各終収束は coproduct からの単一の（全射）写像に関する終収束に書き直せる（Proposition IV.8.3）。
- クラス $\mathbb{W}$ が $\mathbb{G}$ で finally dense: 各 $\tau \in \mathbb{G}$ が $\mathbb{W}$-収束たちの終収束（Def IV.8.5）。
位相の場合 ⨆ j, coinduced (f j) (ξ j)；連続性判定は continuous_iSup_dom / continuous_coinduced_dom