Proposition IV.4.5 (始収束の普遍性)
- Proposition IV.4.5 (始収束の普遍性) #Card
- $\xi = \bigvee_j f_j^-\tau_j$ への写像 $h$ の連続性はどう判定するか。
If $\xi = \bigvee_{j \in J} f_j^- \tau_j$ and $\theta$ is a convergence, then $$h \in C(\theta, \xi) \iff \forall j \in J, \quad f_j \circ h \in C(\theta, \tau_j).$$
（始収束への連続性は合成で判定——圏論でいう錐の普遍性。）
証明の骨子（随伴公式 (IV.3.5) からの帰結）. すべて随伴公式 cards/topology/prop-iv-3-15 を繰り返し適用する不等式計算。
- ($\Rightarrow$) $h \in C(\theta,\xi)$ とする。各 $j$ で $f_j \in C(\xi,\tau_j)$（$\xi = \bigvee_k f_k^-\tau_k \geq f_j^-\tau_j$ ゆえ (IV.3.5) より $f_j \in C(\xi,\tau_j)$）。連続写像の合成（Prop IV.2.2）で $f_j \circ h \in C(\theta,\tau_j)$。
- ($\Leftarrow$) 各 $j$ で $f_j \circ h \in C(\theta,\tau_j)$ とする。(IV.3.5) より $\theta \geq (f_j \circ h)^-\tau_j = h^-(f_j^-\tau_j)$。再び (IV.3.5)（今度は $h$ について）で $h\theta \geq f_j^-\tau_j$。これがすべての $j$ で成り立つので、上限の普遍性により $h\theta \geq \bigvee_j f_j^-\tau_j = \xi$。もう一度 (IV.3.5) で $h \in C(\theta,\xi)$。∎
位相の場合 continuous_iInf_rng / continuous_induced_rng