Example X.7.7（Hausdorff・正則だが関数的正則でない位相）
- Example X.7.7（Hausdorff・正則だが関数的正則でない位相） #Card
- 反例の構成の骨子と、Lemma X.7.6（cofinite フィルターでの連続関数の余可算性）が果たす役割は。
Lemma X.7.6: $\mathcal{V}_\xi(x)$ が非可算集合 $V_0$ 上の $x$ を中心とする cofinite フィルターで、$f\in C(\xi,\nu)$ なら ${f=f(x)}$ は $V_0$ で余可算（各 ${|f|<2^{-n}}$ が cofinite、可算交叉で余可算）。
これを使い、$Z:={(x,y):0\leq y\leq2}$ 上に「対角線・反対角線状の cofinite 近傍」を持つ Hausdorff・zero-dimensional（ゆえに関数的正則）な位相を構成し、その上にさらに極限点 $\infty$ を1つ加えた $Z_\infty$ を作る。$Z_\infty$ は Hausdorff・正則だが、$F:={(x,0):x\leq0}$ という閉集合と $\infty\notin F$ を関数的に分離しようとすると、Lemma X.7.6 の余可算性の議論が「無限に伝播」してしまい、どの連続関数も $f(\infty)=0$ を強制される — 関数的正則性が破れる。
「位相的正則性は局所的な条件だが、関数的正則性は大域的な整合性を要求する」という質的な違いを示す反例。