Propositions II.5.9–10 (subcofinite フィルターの特徴づけ)
- Propositions II.5.9–10 (subcofinite フィルターの特徴づけ) #Card
- subcofinite（almost principal）フィルターの標準形と基底による特徴づけ。
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Proposition II.5.9: each subcofinite filter is of the form $(B, A)_0$（cofinite filter of $B$ centered at $A$）, where $B$ is infinite and $A \subset B$——$B \in \mathcal{F}$ を witness に取り $A := \operatorname{ker}\mathcal{F}$。
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Proposition II.5.10: a filter is subcofinite if and only if it has a filter-base of almost equal sets（対称差が有限、cards/topology/almost-equal）。
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あわせて: subcofinite で可算集合を含めば countably based。Exercise II.5.7: $(B)_0 = (D)_0 \iff B \triangle D$ 有限。
証明の骨子（II.5.9）:
- subcofinite の定義: ある $F_0 \in \mathcal{F}$ で $F_0 \setminus F$ が各 $F \in \mathcal{F}$ で有限。$B := F_0 \in \mathcal{F}$（無限、さもなくば improper）を witness に取り、$A := \operatorname{ker}\mathcal{F}$ とおく。
- $F \in \mathcal{F} \iff A \subset F$ かつ $B \setminus F$ 有限、すなわち $F$ が「$A$ 中心の $B$-cofinite 集合」$(B,A)_0$（Def. II.4.3）。両包含を核とwitnessの有限性から確認して $\mathcal{F} = (B,A)_0$。
証明の骨子（II.5.10）:
- （$\Rightarrow$）witness $F_0$ から $\mathcal{B} := {F_0 \cap F : F \in \mathcal{F}}$ を作ると基底。任意の $F_1, F \in \mathcal{B}$ で $F_1 \setminus F \subset F_0 \setminus F$ 有限、役割を入れ替えて $F \setminus F_1$ も有限、ゆえに対称差 $F_1 \triangle F$ が有限＝ almost equal（cards/topology/almost-equal）。
- （$\Leftarrow$）almost equal な基底 $\mathcal{D}$ の一元 $D_0$ を witness に取れば、$F \in \mathcal{D}^\uparrow$ に $D \subset F$（$D \in \mathcal{D}$）があり $D_0 \setminus F \subset D_0 \setminus D$ 有限、subcofinite。