📐 Proposition XII.5.7・Lemma XII.5.8（コンパクト距離化可能空間は Cantor 集合の連続像）
- 📐 Proposition XII.5.7・Lemma XII.5.8（コンパクト距離化可能空間は Cantor 集合の連続像） #Card
- 任意のコンパクト距離化可能空間が Cantor 集合の連続像になることの証明の鍵は。
Lemma XII.5.8: Cantor 集合 $C$ の空でない閉部分集合 $F$ は $C$ の連続像。
証明: 標準基（(XII.5.2)）の部分列 ${G_m}$ で $C\setminus F=\bigcup_m G_m$（各 $G_m$ は clopen、$\operatorname{diam}G_m\to0$）を取り、各 $G_m$ に最寄りの点 $q_m\in F$ を対応させる写像 $f(x):=x$（$x\in F$）、$f(x):=q_m$（$x\in G_m$）を作ると、$\operatorname{diam}G_m\to0$ から連続性が従う。
Prop XII.5.7: コンパクト距離化可能な位相は Cantor 集合の連続像。
証明: cards/topology/cor-xii-2-6-hausdorff-compact-tikhonov-embedding より Cantor 立方体（≅ Cantor 集合）の閉部分集合に同相に埋め込め、Lemma XII.5.8 を適用。
「距離化可能性」という仮定がここで本質的（一般の Hausdorff コンパクト空間版は weight に依存する Thm XII.10.10 まで待つ）。測度論での Borel 集合・標準確率空間の構成が Cantor 集合を経由することの位相的裏付け。