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Convergence of a Sequence (数列の収束) (Definitions (A)/(B)/(C))

  • Convergence of a Sequence (数列の収束) (Definitions (A)/(B)/(C)) #Card
    • 実数直線上の列 $\varphi$ が $x$ に収束することの3つの同値な定義：標準の $\varepsilon$-$n_\varepsilon$ 定義、cofinite 集合による言い換え、任意の可算添字集合への一般化。

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Definition (A) (標準定義). $\varphi$ on $\mathbb{R}$ converges to $x \in \mathbb{R}$ if for each $\varepsilon > 0$, there exists $n_\varepsilon \in \mathbb{N}$ such that $|\varphi(n) - x| \le \varepsilon$ for every $n \ge n_\varepsilon$.

Definition (B) (cofinite 集合による言い換え). $\varphi$ converges to $x$ if and only if ${n \in \mathbb{N} : \varphi(n) \notin ,]x-\varepsilon, x+\varepsilon[,}$ is finite for each $\varepsilon > 0$.

Definition (C) (任意の可算添字集合への一般化). Let $N$ be an arbitrary infinite countable set. $\varphi \in \mathbb{R}^N$ converges to $x$ if and only if, for each $\varepsilon > 0$, there exists a cofinite subset $F$ of $N$ such that $\varphi(F) \subset ,]x-\varepsilon, x+\varepsilon[,$. (A) と (B) は同値（$n_\varepsilon := \max{n : |x_n - x| > \varepsilon} + 1$ と置けば相互に構成可能）。(C) は (B) から $\mathbb{N}$ の順序を使わない形に抽象化したもの。 ## Meaning この3段階の書き換えが第II章全体の設計を先取りする。(A) は $\mathbb{N}$ の順序（$n \ge n_\varepsilon$）に依存するが、(B) はそれを「有限個の例外を除いて」というcofiniteの言葉に置き換えるだけで同値になる——順序は本質ではなかったことが分かる。さらに (B) を見ると、添字集合が $\mathbb{N}$ である必要すらなく、任意の無限可算集合 $N$ に一般化できる（(C)）。 この観察が p.19 の Proposition II.1.1（cards/topology/prop-ii-1-1）につながる：cofinite 原像の族 $\Gamma_\varphi$（cards/topology/filter-of-cofinite-preimages）を導入すれば、収束は「二つの集合族の包含 $\mathcal{N}(x) \subset \Gamma_\varphi$」として書け、これが第II.2節でフィルター概念そのものへと抽象化される最初の一歩になる。

この書き換えが後で”効いてくる”場所:

  • (A)→(B) が $\Gamma_\varphi$ を可能にし、$\mathcal{N}(x)$ と $\Gamma_\varphi$ の共通性質（isotone / finitely complete / proper, p.20–21）として II.2節のフィルター公理が抽出される——(B) なしにフィルター概念は生まれない。
  • (C) の指標集合の一般化（$N$ を $\mathbb{N}$ に固定しない）は具体的に3か所で必須になる：
    • cards/topology/subsequence（Prop II.1.3, p.19）: 部分列を単調写像 $\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ でなく、異なる可算集合間の単射 $\gamma \in N^K$ で定義できる。
    • cards/topology/sequential-filter（Def II.2.9, p.22）: 「$\mathcal{F}$ が列型」とは「ある $\varphi \in X^N$（$N$ は何らかの無限可算集合）で $\mathcal{F} = \Gamma_\varphi$」——$N=\mathbb{N}$ 固定では指標の付け替えで同じフィルターを生成する列たちを同一視できない。
    • Example II.2.18 / II.5.11（分割の尾フィルター, cards/topology/partition-tail-filter）: 可算個の無限集合の非交和 $\bigsqcup_{n<\omega}X_n$ 自体を新たな指標集合として使う構成。
  • 第III章 cards/topology/standard-sequential-convergence（$\sigma_\mathbb{R}$, Example III.1.3）の条件 $\varphi[(\mathbb{N})0] \subset \mathcal{F}$ は $\Gamma\varphi \subset \mathcal{F}$ そのもの——Prop II.1.1 の「収束＝フィルター包含」を任意のフィルター $\mathcal{F}$ に一般化した形で再利用されている。

出典: refs/math/topology/royal-road-to-topology/pdfs/chp2-2024-from-convergence-of-sequences-to-the-concept-of-filter.pdf p.17–19

Lean

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Filter.Tendsto φ Filter.atTop (nhds x)（Mathlib の標準的な列の収束。本書 Definition (A) に対応）