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Proposition II.1.1 (収束のフィルター的特徴づけ)

  • Proposition II.1.1 (収束のフィルター的特徴づけ) #Card
    • 列 $\varphi$ が $x$ に収束することの $\Gamma_\varphi$ と $\mathcal{N}(x)$ による言い換え。

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Let $\varphi$ be a sequence and $\Gamma_\varphi$ its sequential filter（cards/topology/cofinite-subset preimage の族）. Then $\varphi$ converges to $x$ if and only if $$\mathcal{N}(x) \subset \Gamma_\varphi.$$

証明の骨子:

  • 示すべきは集合の包含 $\mathcal{N}(x) \subset \Gamma_\varphi$（および逆向き）。$A \subset B$ を示すには任意の $a \in A$ を取り $a \in B$ を示す、という集合論の基本パターンに従い、まず任意の $V \in \mathcal{N}(x)$ を取ってきて $V \in \Gamma_\varphi$ を示す（特定の $V$ の性質を使うためではなく、任意性を確保するための出発点）。
  • （$\Rightarrow$）$\varphi \to x$ とし $V \in \mathcal{N}(x)$（cards/topology/neighborhood-of-x）を取る。近傍の定義は非対称な区間 $]a,b[\subset V$（$a<x<b$）で書かれているが、収束の Def. C は対称区間 $]x-\varepsilon,x+\varepsilon[$ の形でしか語れないので、$\varepsilon := \min(x-a,,b-x)$ と取って $]x-\varepsilon,x+\varepsilon[ \subset ]a,b[\subset V$ に変換する（近傍の定義と Def. C を噛み合わせるための橋渡し）。ここで Def. B ではなく Def. C（cards/topology/convergence-of-sequence）を呼ぶのは、$\Gamma_\varphi$（cards/topology/filter-of-cofinite-preimages）が任意の可算集合 $N$ 上の列に対して定義されており、$N=\mathbb{N}$ に限定した Def. B ではこの一般性に対応できないため。Def. C よりある cofinite 集合 $A \subset N$ で $\varphi(A) \subset {]x-\varepsilon,x+\varepsilon[} \subset V$——すなわち $A \subset \varphi^-(V)$。$A$ が cofinite（cards/topology/cofinite-subset: $N\setminus A$ が有限）で $A \subset \varphi^-(V)$ なら $N\setminus\varphi^-(V) \subset N\setminus A$ も有限、よって $\varphi^-(V)$ も cofinite。これは $\Gamma_\varphi$ の定義（$E\in\Gamma_\varphi \iff \varphi^-(E)$ cofinite）そのものにより $V \in \Gamma_\varphi$ を意味する。
  • （$\Leftarrow$）$\mathcal{N}(x) \subset \Gamma_\varphi$ を仮定する。各 $\varepsilon>0$ について $]x-\varepsilon,x+\varepsilon[$ 自体が（$a=x-\varepsilon,,b=x+\varepsilon$ と取れば）近傍の定義を満たすので $]x-\varepsilon,x+\varepsilon[ \in \mathcal{N}(x) \subset \Gamma_\varphi$。$\Gamma_\varphi$ の定義を逆向きに読むと $\varphi^-(]x-\varepsilon,x+\varepsilon[)$ が cofinite、cofinite の定義（補集合が有限）を書き下せば ${n : \varphi(n) \notin {]x-\varepsilon,x+\varepsilon[}}$ は有限——これが各 $\varepsilon>0$ で成り立つとは収束の定義（Def. B）そのもの。 - 鍵は $\Gamma_\varphi$ の isotone 性（cards/topology/filter-of-cofinite-preimages）: 一つの近傍が属せば、それを含む集合はすべて属す。この性質は実は（$\Rightarrow$）の中で既に使われている——「$A$ が cofinite で $A \subset \varphi^-(V)$ だから $\varphi^-(V)$ も cofinite」という一手が isotone 性の中身であり、この最後の一文はそこで暗黙に使った操作に後から名前を付けているだけ。

Meaning

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Proposition II.1.1 は第II章の出発点である。列 $\varphi$ が点 $x$ に収束することは、点 $x$ に付随する近傍族 $\mathcal{N}(x)$ が、列 $\varphi$ に付随する族 $\Gamma_\varphi$ に包含されることと同値である——収束が「二つの集合族の包含関係」に還元される。

この包含の視点から、II.2 でフィルター概念が一般化される。

出典: refs/math/topology/royal-road-to-topology/pdfs/chp2-2024-from-convergence-of-sequences-to-the-concept-of-filter.pdf p.19

Lean

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Filter.Tendsto φ atTop (𝓝 x) = map φ atTop ≤ 𝓝 x

本ノート RoyalRoad.ChapterII.prop_II_1_1（Notes/ChapterII.lean、lake build 済み）