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Filter of Cofinite Preimages ($\Gamma_\varphi$)

  • Filter of Cofinite Preimages ($\Gamma_\varphi$) #Card
    • For a sequence $\varphi \in X^N$ on an infinite countable set $N$, the family of subsets of $X$ defined by: $$E \in \Gamma_\varphi \iff \varphi^{-1}(E) \text{ is cofinite in } N$$

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For a sequence $\varphi \in X^N$ on an infinite countable set $N$, the family of subsets of $X$ defined by: $$E \in \Gamma_\varphi \iff \varphi^{-1}(E) \text{ is cofinite in } N$$

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(II.1.1) により $E \in \Gamma_\varphi$ とは、$N$ の cofinite 部分集合 $A$ が存在して $\varphi(A) \subset E$ となることと同値である。$\Gamma_\varphi$ は isotone・finitely complete・proper である——$\mathcal{N}(x)$ と同型の性質を持つ。

Def (B)(C) の cofinite 条件は、指標集合上の順序の「残滓」として列の収束に残る。本節の到達点は、列を指標集合から解放し $\Gamma_\varphi$ という $X$ 上の集合族だけで収束を記述することである（p.20）。

出典: refs/math/topology/royal-road-to-topology/pdfs/chp2-2024-from-convergence-of-sequences-to-the-concept-of-filter.pdf p.18–19

Lean

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本書独自構成。最も近いのは Filter.cofinite の comap（Filter.comap f cofinite）