Equicontinuous family（Definition X.2.5）とその sup/inf の連続性（Proposition X.2.6）
- Equicontinuous family（Definition X.2.5）とその sup/inf の連続性（Proposition X.2.6） #Card
- 同程度連続族の定義と、有限値をとる限り sup/inf が連続になることの証明の骨子は。
$\mathcal{F}\subset\mathbb{R}^X$ が equicontinuous :⟺ 各 $x,\varepsilon>0$ に対し $U\in\mathcal{N}_X(x)$ が存在し $|f(u)-f(x)|<\varepsilon$（$\forall u\in U,\ \forall f\in\mathcal{F}$）— 近傍の選び方が $f$ に依存しないのが同程度連続性の核。
Prop X.2.6: $\mathcal{F}$ が equicontinuous なら $\sup\mathcal{F},\inf\mathcal{F}$ は（無限値を取らない限り）連続。証明: cards/topology/semicontinuous-function（Lemma X.2.4）で $\sup\mathcal{F}$ は自動的に lower 半連続、同程度連続性から upper 半連続も従う（両側から挟む）ので連続。
Lemma X.2.7: $\mathcal{F}$ が同程度連続かつ各点で有界なら、$\mathcal{F}$ の任意の部分族の sup 全体もなお同程度連続 — Arzelà–Ascoli 型定理（関数空間のコンパクト性判定）の下準備。